Waarheidsperspectieven

Er bestaan verschillende waarheidsperspectieven die elkaar uitsluiten maar elkaar ook kunnen aanvullen.

De geschiedenis van de wiskunde

Een methode waarin het harde bewijs centraal staat is de wiskunde. Vanuit axioma’s (onbewezen aannames) en definities construeren wiskundigen met strikte logische redeneringen modellen. Wiskundige beweringen waarvan de juistheid is aangetoond heten stellingen en een stelling is tot in de eeuwigheid waar en dus lijkt wiskunde een absolute wetenschap maar de achilleshiel van de wiskunde zit in de axioma’s want 1+1=2 is niet meer dan een afspraak. Nu lijkt één appel plus één appel absoluut als uitkomst twee appels te hebben. En de wortel van 9 is 3 omdat 3x3=9 en de wortel van -9 bestaat niet. Maar omdat natuurwetenschappers erachter kwamen dat de wortel van -9 toch een betekenis zou kunnen hebben, hebben de wiskundigen dit probleem opgelost met de imaginaire getallen. Het is een foefje om toch de wortel van -9 te kunnen berekenen. Deze wiskundige handigheid is een afspraak die niet meer uit de realiteit volgt als we ons de getallen voorstellen in het aantal appels. Natuurkundigen moeten in de kwantummechanica vaak een beroep doen op de wiskundige trukendoos om in principe onoplosbare vergelijkingen te kunnen oplossen. Eén zo’n truc heet renormalisatie. Hiermee kunnen in de kwantumelektrodynamica vervelende oneindigheden worden weggewerkt en de uitkomst is betekenisvol. Natuurkundigen gruwelen van renormalisatie omdat het lelijk is, maar het werkt en het resulteert in de meest nauwkeurige theorie die de mensheid tot haar beschikking heeft. Hoe is het mogelijk dat een bedacht trucje de natuur kan verklaren? Wiskunde werkt maar we weten niet waarom.

De wiskunde begon met het oplossen van rekensommen en vergelijkingen. In de Griekse Oudheid voegde men hier iets aan toe. Men wilde niet alleen het antwoord weten maar ook begrijpen waarom dat het antwoord is. Ze gingen zoeken naar de bewijzen. De Griekse wiskunde vond zijn hoogtepunt in De Elementen van Euclides, een boek waarin – bewijs na bewijs – de meetkunde systematisch wordt beschreven. Na de Oudheid voegden veel wiskundigen nieuwe ideeën toe aan de wiskunde, zoals de Arabische cijfers met het cijfer nul, de decimale notatie, de uitvinding van complexe getallen, het logaritme, de ontdekking van de differentialen en integralen en dit alles voegde de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler samen door de wiskundige termen en notatie te standaardiseren. Na Eulers dood in 1783 hadden velen de indruk dat het wiskundige bouwwerk bijna was voltooid en dat er geen grote problemen meer over waren. Echter, de wiskunde onderging na 1800 onder invloed van de Industriële Revolutie een grote verandering omdat het menselijke perspectief werd losgelaten. De nieuwe vorm van wiskunde werd rigoureus gegrondvest op axioma’s en algebraïsche bewijzen zonder de hulp van praktische meetkunde of inzichtelijke visualisaties. Twee grote pioniers van de meer zuivere wiskunde waren Augustin Cauchy en Carl Gauss. Cauchy bouwde met het werk van Gottfried Wilhelm Leibniz en Isaac Newton het huis van de analyse. Hij slaagde erin de grondslagen van de analyse ook formeel te bewijzen. De abstractie opende de weg naar een onontgonnen theoretische wereld waarin niet zozeer de eigenschappen van een verschijnsel worden bestudeerd, maar meer de relaties en de onderliggende structuren. De wiskundigen uit het begin van de twintigste eeuw, zoals Russell en Hilbert, hadden voor ogen om alle axioma’s en de logische gevolgtrekkingen tot één perfect sluitend systeem te ordenen. Als er inderdaad een universeel wiskundig grondpatroon bestaat, dan kan een krachtige computer alle geheimen onweerlegbaar ontrafelen. De Oostenrijks-Amerikaans wiskundige Kurt Gödel zette met zijn onvolledigheidsstellingen een streep door deze luchtfietserij. Hij bewees in 1931 dat het onmogelijk is een bewijs te leveren voor alle ware uitspraken en dit geldt zelfs voor de simpelste rekenkunde. Gödel ontdekte dat als een bepaald systeem consistent is, het niet volledig kan zijn, en binnen een bepaald systeem kan de consistentie van de axioma’s niet worden bewezen. Niet alle wiskundige vraagstukken zijn oplosbaar. De logica spreekt zichzelf tegen en kan niet compleet zijn. In de moderne natuurkunde wordt veel wiskunde gebruikt en de stelling van Gödel geeft een beperking aan ‘de theorie van alles’ omdat de stelling impliceert dat er ontdekkingen kunnen worden gedaan die met geen enkele theorie met een eindig aantal axioma’s worden voorspeld. Een natuurkundige theorie van alles welke is gebaseerd op wiskunde kan onmogelijk alles bevatten of deze is niet wiskundig consistent en dus paradoxaal of onlogisch.